Como habrás observado al manipular los puntos del aplete anterior, las razones trigonométricas no depende de los lados del triángulo, sólo dependen del ángulo.
La demostración es consecuencia del teorema de Thales.
Observemos que los triángulos están en posición de Thales, y son semejantes.
CB/AB = AD/AE = sen(a)
AC/AB = AD/AE = cos (a)
BC/AC = ED/AD = tg(a)
Sistema de referencia goniométrico
Vamos a considerar una circunferencia centro O(0,0) y radio r, y tomamos como vértices de nuestro triángulo rectángulo, el origen, un punto A sobre el eje x interior a la circunferencia y en la perpendicular al eje por el punto A, el punto B intersección de dicha perpendicular con la circunferencia.
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Mueve el dial r. ¿Qué se observa? Mueve ahora el punto A. Vuelve a mover el dial r.
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Habrás observado que al variar r, las razones trigonométricas no varían (¿por qué?), así pues, podemos elegir como radio de la circunferencia aquel que más nos facilite nuestra tarea, por ello elegimos como radio r=1. Observa cual sería el denominador del seno y el coseno.
A los ejes de coordenadas y a la circunferencia de centro el origen y radio 1, lo llamaremos sistema de referencia trigonométrico.
OBSERVACIONES:
- En un sistema de referencia trigonométrico el seno de un ángulo coincide con el cateto opuesto y con la ordenada del punto B.
- En un sistema de referencia trigonométrico el coseno de un ángulo es igual al cateto contiguo y a la abscisa del punto B.
Sea alfa un ángulo tal que su vértice se encuentre en el
origen de coordenadas y uno se sus lados sobre el eje x, el otro lado
cortará a la circunferencia unidad en un punto P.
Si P tiene de coordenadas (x,y) definimos:
sen(a)=y
cos(a)=x
tg(a)= y/x
Mueve el punto C, anota en tu cuaderno los valores de:
| Ángulo | 0º | 30º | 45º | 60º | 90º | 120º | 135º | 150º | 180º |
| seno | |||||||||
| coseno | |||||||||
| ángulo | 210º | 225º | 240º | 270º | 300º | 315º | 330 | 360º | |
| seno | |||||||||
| coseno |
Algunos de los valores obtenidos en el cuadro anterior son aproximados, para obtener los valores exactos de las razones trigonométricas de 45º y de 30º y 60º realiza los siguientes ejercicios.
Ejercicio.-
- Dibuja un triángulo equilátero de lado 1 y traza la altura, en uno de los triángulos rectángulos que se obtienen, halla los catetos, los ángulos y calcula el cos(60º), sen(60º), el cos(30º) y el sen(30º).
- Dibuja un triángulo rectángulo, sabiendo que uno de
sus lados es 45º.
¿Cuánto mide el otro ángulo? ¿y los catetos? Halla el seno y coseno de 45º.
Solución
Para recordar estos valores utilizamos la siguiente regla:
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0º
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30º
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45º
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60º
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90º
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sen2
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0/4
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1/4
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2/4
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3/4
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4/4
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cos2
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4/4
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3/4
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2/4
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1/4
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0/4
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y sólo falta hallar la raíz cuadrada.
Signo de las razones trigonométricas
Evidentemente habrás observado que el signo de las razones trigonométricas depende del cuadrante donde se encuentra el punto P.
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P
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Cuadrante I
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Cuadrante II
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Cuadrante III
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Cuadrante IV
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seno
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+
|
+
|
-
|
-
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|
coseno
|
+
|
-
|
-
|
+
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|
tangente
|
+
|
-
|
+
|
-
|
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Ángulos. Medida de ángulos.Arcos y cuerdas. Ángulos en la circunferencia.Teorema de Thales. Homotecia y semejanza. Trigonometría. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Relación fundamental. Secante, cosecante y cotangente. Reducción al primer cuadrante. Razones trigonométricas de ángulos complementarios. Razones trigonométricas de la suma o diferencia de dos dados. Razones del ángulo doble y mitad. Funciones circulares. Ecuaciones trigonométricas. Resolución de triángulos. Teorema de Pitágoras. Teorema de altura. Teorema del seno. Teorema del coseno. Coordenadas. Vectores. Recta en el plano: generalidades. Ecuaciones de la recta. Incidencia y paralelismo. Distancia punto recta. Funciones: generalidades. Dominio. Simetría y periodidcidad. Crecimiento. Extremos relativos. Operaciones con funciones. Función polinómica. Funciones a trozos. Funciones trascendentes.