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Todos hemos oído hablar de que los juegos de ordenador, las nuevas películas animadas, etc. están hechos con gráficos vectoriales, pero no sólo en la animación están presentes los vectores, estos también rigen la navegación aérea, el desplazamiento de los barcos, y en general la mecánica, sabemos que ciertas magnitudes como la velocidad, la aceleración, la fuerza, no están completamente definidas indicando su valor numérico, sino que para que queden determinadas necesitan indicar en que dirección se ejercen y en que sentido, es decir, necesitan del cálculo vectorial. Vector libreVector libre es aquel que podemos aplicar en cualquier
punto, y lo representamos como se ve en la imagen, pincha en la base
y observa como no varia. Los vectores los representaremos en negrita
v, o bien con una flecha
A cada vector libre le podemos asignar un par de números son sus coordenadas, observa que estas no varían cuando mueves el vector (tienes que moverlo pinchando en la base, para cambiar el vector tienes que pinchar en el extremo) Mueve el extremo del vector v hasta obtener el vector (2,1). Repite el proceso hasta conseguir el vector (6,3), ¿qué se observa? Un vector viene caracterizado por la dirección,
la recta en la que se apoya, el sentido, donde apunta la flecha
y el módulo, su longitud. Cuando un vector vector libre se aplica en un punto se denomina vector fijo, así pues un vector fijo viene dado por dos puntos, el primero indicará el origen y el segundo el extremo
Ejemplo.- Dado los puntos A(1,1) y B(3,-1). Halla las coordenadas del vector AB. Sabemos que AB=B-A= (3,-1)-(1,1)=(3-1,-1-1)=(2,-2) Ejercicio.- Dados los vectores A(1,1) y B(3,5). Halla las coordenadas del vector AB. Solución Ejercicio.- Halla el extremo del vector AB=(1,2) sabiendo que su origen es el punto A(1,-1). Solución Operaciones con vectores
  la suma
Ejemplo.- Dados los vectores v=(1,3) y w=(4,-9). Halla su suma, su diferencia, 3 v, 2v+w, el extremo del vector v+w sabiendo que su extremo es el punto A=(2,2). Solución
Definición ( Módulo de un vector)
Llamaremos módulo de un vector u=(x,y) a Ejemplo.- Halla el módulo del vector u=(-3,4). Solución Definición.- Un vector es unitario si su módulo es 1 Ejemplo.- Halla un vector unitario en la dirección del vector u=(-3,4). Solución Definición.- Dos vectores se dicen ortogonales si su producto escalar es cero. Ejemplo.- Halla el valor de x para que los vectores (1,2) y (x, -5) sean ortogonales. Solución Ángulo de dos vectores.- Dados los vectores u=(x,y), v=(a,b), se define el ángulo de dos vectores mediante:
Ejemplo.- Halla el ángulo que forman los vectores u=(1,2) y v=(2,-1). Solución Ejemplo.- Halla el ángulo que forman los vectores u=(1,2) y v=(2,-1). Solución Proyección de un vector sobre otroDados los vectores u y v, queremos obtener la proyección ortogonal de v sobre u. La proyección de v sobre u será un nuevo vector w, y tendremos que w = s u, tenemos que determinar el valor de s. Sabemos que -su + v es ortogonal a u, por tanto su producto escalar es nulo. (-s u + v) * u = 0 -s u*u+v*u = 0 s=v*u/(u*u) y la proyección ortogonal es: w = v*u/(u*u) u Ejemplo.- Halla la proyección ortogonal del vector v = (1,2) sobre el vector u = (1,1). Solución.
Ángulos. Medida de ángulos.Arcos y cuerdas. Ángulos en la circunferencia.Teorema de Thales. Homotecia y semejanza. Trigonometría. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Relación fundamental. Secante, cosecante y cotangente. Reducción al primer cuadrante. Razones trigonométricas de ángulos complementarios. Razones trigonométricas de la suma o diferencia de dos dados. Razones del ángulo doble y mitad. Funciones circulares. Ecuaciones trigonométricas. Resolución de triángulos. Teorema de Pitágoras. Teorema de altura. Teorema del seno. Teorema del coseno. Coordenadas.Recta en el plano: generalidades. Ecuaciones de la recta. Incidencia y paralelismo. Distancia punto recta. Funciones: generalidades. Dominio. Simetría y periodidcidad. Crecimiento. Extremos relativos. Operaciones con funciones. Función polinómica. Funciones a trozos. Funciones trascendentes.
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