Sea A(a,b) un punto de la recta y sea u=(u1,u2) un vector no nulo en la dirección de la recta, que lo llamaremos su vector de dirección, si X(x,y) son las coordenadas de un punto cualquiera de la recta, tendremos que el vector AX tiene la misma dirección que el vector u, es decir AX= t u, siendo t un parámetro (un número real ), Ejemplo.- Dado el punto A(1,2) y el vector u=(-1,1). Halla la ecuación vectorial de la recta. Solución.
Sabemos que AX= t u, es decir, X-A=t u, de donde X=A+t u, si X tiene de coordenadas (x,y) , A(a,b) y u=(u1,u2), tendremos: (x,y)=(a,b)+ t (u1,u2) (x,y)=(a,b)+t (u1,u2) (x,y)=(a+t u1,b+t u2) de donde:
Ejemplo.- Halla la ecuación parámetrica de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(0,3). Solución.
Si en la ecuación paramétrica despejamos el parámetro "t", obtenemos:
e igulando:
Ejemplo.- Dada los puntos A(1,2) y B(3,5). Halla la ecuación continua de la recta. Solución.
Si en la ecuación continua despejamos y-b, nos queda:
a Consideramos que le punto A tiene de coordenadas (0,0) para simplificar, y consideramos la recta y = mx. Si x = 1 entonces y = m, es decir, si nos desplazamos 1 unidad a la derecha y aumenta o disminuye m unidades, dependiendo de si m es positivo o negativo. Ejemplo.- Halla la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1,1) y B(2,3). Solución.
Si despejamos la y obtenemos la ecuación explícitay = m x + n, sabemos que m es la pendiente y n es la ordenada en el origen. Ejemplo.- Halla la ecuación explícita que pasa por los puntos A(0,2) y B(-1,4). Solución.
Si pasamos todos los términos a un mismo miembro se obtiene la ecuación general, su forma es A x + B y + C = 0. Dados dos puntos D de coordenadas (a,b) y E(m,n), tendremos que: A a + B b + C = 0 A m + B n + C = 0 restando miembro a miembro, obtenemos: A (a-m) + B (b-n) = 0 observemos que (a-m,b-n) es un vector de la recta, y recordando la definición de producto escalar, tendremos que: (a-m,b-n)*(A,B)=0 y los vectores (A,B) y (a-m,b-n) son ortogonales, de donde podemos concluir que el vector (A,B) es perpendicular a la recta A x + B y + C = 0 y el vector de dirección de la recta es (B,-A). Ejemplo.- Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,2) y (2,1). Solución. Ejercicio.- Dada la recta x+y-1=0, escribela de las distintas formas que conozcas. ¿El punto (1,2) pertenece a la recta?¿y el punto (3,-2)? Solución.
Ángulos. Medida de ángulos.Arcos y cuerdas. Ángulos en la circunferencia.Teorema de Thales. Homotecia y semejanza. Trigonometría. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Relación fundamental. Secante, cosecante y cotangente. Reducción al primer cuadrante. Razones trigonométricas de ángulos complementarios. Razones trigonométricas de la suma o diferencia de dos dados. Razones del ángulo doble y mitad. Funciones circulares. Ecuaciones trigonométricas. Resolución de triángulos. Teorema de Pitágoras. Teorema de altura. Teorema del seno. Teorema del coseno. Coordenadas.Vectores. Recta en el plano: generalidades. Incidencia y paralelismo. Distancia punto recta. Funciones: generalidades. Dominio. Simetría y periodidcidad. Crecimiento. Extremos relativos. Operaciones con funciones. Función polinómica. Funciones a trozos. Funciones trascendentes.
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se le denomina pendiente y la notaremos con "m". Veamos
una interpretación geométrica de la pendiente.
