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El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Veamos la demostración de Euclides (325 a. C. - 265 a. C.)
El área del cuadrado ABFE es el doble del área del triángulo FCB, ya que tienen la misma base y están situados entre paralelas Los triángulos FCB y ABI son iguales: Dos lados iguales AB = BF y BI = BC y un ángulo igual FBC= ABI. El área del rectángulo BIKN es doble del área del triángulo ABI pues tienen la misma base y están situados entre paralelas. De donde tenemos: [BIKN]= 2 [ABI] = 2 [FBC] = [ABFE] [CJKN] = 2 [AJC] = 2 [BCH] = [ACHG] y por tanto: [ABFE] + [ACHG] = [BIKN]+[CJKN] = =[BIJC]
Recíprocamente. Si en un triángulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los restantes lados del triángulo, el ángulo comprendido por estos dos lados es recto. Demostración.- Tomamos un segmento AD = AB y perpendicular a AC, como AB2+AC2 = BC2 y por ser rectángulo el triángulo ADC, se tiene AD2 + AC2 = DC2 pero AD = AB BC2 = AB2 + AC2 = AD2 +AC2 = DC2 y BC = DC y los triángulos DAC y CAB son congruentes, por tener los tres lados iguales. Problema .- Un junco enraizado en el fondo de un estanque se encuentra a 90 cm. de la orilla, y su cabeza se eleva 30 cm. sobre el agua. Por la fuerza del viento se ha inclinado (sin doblarse) de modo que su cabeza toca la orilla a ras de agua. ¿Cuál es la profundidad del estanque y la altura del junco? Solución
Ángulos. Medida de ángulos.Arcos y cuerdas. Ángulos en la circunferencia.Teorema de Thales. Homotecia y semejanza. Trigonometría. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Relación fundamental. Secante, cosecante y cotangente. Reducción al primer cuadrante. Razones trigonométricas de ángulos complementarios. Razones trigonométricas de la suma o diferencia de dos dados. Razones del ángulo doble y mitad. Funciones circulares. Ecuaciones trigonométricas. Resolución de ecuaciones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos.. Teorema de altura. Teorema del seno. Teorema del coseno. Coordenadas. Vectores. Recta en el plano: generalidades. Ecuaciones de la recta. Incidencia y paralelismo. Distancia punto recta. Funciones: generalidades. Dominio. Simetría y periodidcidad. Crecimiento. Extremos relativos. Operaciones con funciones. Función polinómica. Funciones a trozos. Funciones trascendentes.
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