Seno de la suma de dos ángulos

Sean a y b ángulos del primer cuadrante, vamos a ver que:

sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)

La restricción no quita generalidad a la fórmula pues siempre podemos reducir los ángulos del segundo, tercer y cuarto cuadrante al primero.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and activated. (click here to install Java now)

El área de los triángulos T, P y Q valen:

T=1/2 h h₁ sen(a+b)

P=1/2 h m sen(a)

Q=1/2 h₁ m sen(b)

pero observemos que:

m = h₁cos(b)

m = h cos(a)

que sustituyendo en P y Q respectivamente, nos da:

P=1/2 h h₁ sen(a) cos(b)

Q=1/2 h h₁ sen(b) cos (a)

además sabemos que el área de T es igual al área de P más el área de Q, por tanto:

1/2 h h₁ sen(a+b) = 1/2 h h₁ sen(a) cos(b) + 1/2 h h₁ sen(b) cos(a)

de donde:

Ejercicio.- Calcula el seno de 75º sin ayudarte de la calculadora.

Seno de la diferencia de dos ángulos

Cambiando b por -b, nos queda

sen(a-b) = sen(a) cos(-b) + sen(-b) cos(a)=

=sen(a) cos(b) - sen(b) cos(a)

Ejercicio.- Calcula el seno de 15º sin ayudarte de la calculadora.

Coseno de la suma de dos ángulos

Sabemos que cos(x)=sen(90º-x), así que utilizando la fórmula anterior del seno y esta relación podemos obtener:

cos(a+b)=sen(90º-(a+b))=sen((90º-a)+(-b)) = sen(90º-a)cos(-b)+cos(90º-a)sen(-b) =

=cos(a) cos(b) +sen(a)(-senb) =

= cos(a) cos(b) - sen(a) sen(b)

Coseno de la diferencia de dos ángulos

Para obtener la fórmula podemos proceder como en el apartado anterior, pero vamos a ver otra demostración muy sencilla basada en el teorema de Pitágoras.

PI²=HI²+KP²=MI²+MP²

de donde:

PI²=1+cos²(b-a)-2cos(b-a)+sen²(b-a)=

=cos²b+cos²a-2cosbcosa+sen²b+sen²a-2senbsena

aplicando la fórmula fundamental cos²(x)+sen²(x)=1, tendremos:

1+1-2cos(b-a)=

=1+1-2cosbcosa-2senbsena

simplificando y cambiando el signo, nos queda:

Ejercicio.- Prueba que si a, b y g son los ángulos de un triángulo se verifica:

cos(a-b) - cosg = 2 cosa cos b

Tangente de la suma y diferencia de dos ángulos

Ejercicio.- Prueba que si a, b y g son los ángulos de un triángulo se verifica:

tg(a+b) +tg(g)= 0

Ángulos. Medida de ángulos.Arcos y cuerdas. Ángulos en la circunferencia.Teorema de Thales. Homotecia y semejanza. Trigonometría. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Relación fundamental. Secante, cosecante y cotangente. Reducción al primer cuadrante. Razones trigonométricas de ángulos complementarios. Razones del ángulo doble y mitad. Funciones circulares. Ecuaciones trigonométricas. Resolución de triángulos. Teorema de Pitágoras. Teorema de altura. Teorema del seno. Teorema del coseno. Coordenadas. Vectores. Recta en el plano: generalidades. Ecuaciones de la recta. Incidencia y paralelismo. Distancia punto recta. Funciones: generalidades. Dominio. Simetría y periodidcidad. Crecimiento. Extremos relativos. Operaciones con funciones. Función polinómica. Funciones a trozos. Funciones trascendentes.