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En las fórmulas de la suma de dos ángulos
hacemos a=b o a=b,
para obtener:
cos(2a)=cos(a+a)=cosacosa-senasena=
=cos2a-sen2a
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sen(2a)=sen(a+a) = sen(a) cos(a) + sen(a) cos(a)
=2 sen a cos a
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Ejercicio.-Halla las razones trigonométricas del ángulo
120º. Solución
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Sabemos que cos2x = cos2x-sen2x = 2cos2x -1 = 1-sen2x y despejando el sen2x y el cos2x,
obtenemos:
y
Si hacemos 2x=t, tendremos:
y el signo que le asignaremos dependerá del cuadrante donde se encuentre
t/2.
Análogamente:
Veamos la fórmula de la tangente del ángulo mitad, para obtenerla basta
aplicar las dos anteriores:
Ejemplo 1 Calcula la tg(15o)
Solución.- Como 15o pertenece al primer cuadrante su signo
será +.
Ejercicio.- Halla las razones trigonométricas
de 22º 30'. Solución
Transformaciones de sumas y diferencias
en productos
A veces en la resolución de ecuaciones e incluso en la integración de funciones
trigonométricas conviene transformar las sumas en productos o los productos
en sumas.
Consideramos \sen A±\sen B y vamos a transformarlo en un producto, para ello hacemos
sistema que tiene por solución A=[(a+b)/2] y B=[(a-b)/2] (basta sumar y restar las ecuaciones para obtener la solución).
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| sen A+sen B=sen (a+b) = senacosb+senbcosa |
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| sen A -sen B=sen (a-b) = senacosb-senbcosa |
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sumando y restando las dos ecuaciones, se obtiene:
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| senacosb+senbcosa+ senacosb-senbcosa = |
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| senacosb+senbcosa- senacosb+senbcosa = |
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Porcedemos de forma análoga para obtener la suma y diferencia de cosenos:
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| cosacosb-senasenb+ cosacosb+senasenb= |
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| 2 cosacosb = 2 cos |
A+B
2
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cos |
A-B
2
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| cosacosb-senasenb- cosacosb-senasenb= |
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| -2 sen asenb = -2 sen |
A+B
2
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sen |
A-B
2
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Resumiendo:
| sen A+sen B = 2 sen |
A+B
2
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cos |
A-B
2
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| sen A-sen B = 2 sen |
A-B
2
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cos |
A+B
2
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| cosA+cosB = 2 cos |
A+B
2
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cos |
A-B
2
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| cosA-cosB = -2 sen |
A+B
2
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sen |
A-B
2
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Ejemplo.- Transformar en producto sen 3x + sen
x
Solución.-
| sen(3x)+sen(x)=2
sen |
3x+x
2
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cos |
3x-x
2
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=2 sen |
4x
2
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cos |
2x
2
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=2 sen(2x)cos(x) |
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Ejercicio.- Transformar cos(2x)-cos(6x) en producto. Solución
Ángulos.
Medida de ángulos.Arcos
y cuerdas. Ángulos
en la circunferencia.Teorema de Thales.
Homotecia y semejanza. Trigonometría.
Razones trigonométricas
de un ángulo agudo. Razones
trigonométricas de ángulos cualesquiera. Relación
fundamental. Secante, cosecante
y cotangente. Reducción
al primer cuadrante. Razones
trigonométricas de ángulos complementarios. Razones
trigonométricas de la suma o diferencia de dos dados. Funciones
circulares. Ecuaciones
trigonométricas. Resolución
de triángulos. Teorema
de Pitágoras. Teorema
de altura. Teorema del seno.
Teorema del coseno. Coordenadas.
Vectores. Recta
en el plano: generalidades. Ecuaciones
de la recta. Incidencia y paralelismo.
Distancia punto recta. Funciones:
generalidades. Dominio. Simetría
y periodidcidad. Crecimiento.
Extremos relativos. Operaciones
con funciones. Función polinómica.
Funciones a trozos. Funciones
trascendentes.
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