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Ángulo
central es el formado por dos radios de una circunferencia. En una
circunferencia los ángulos centrales tienen una medida proporcional
a sus arcos y la razón de proporcionalidad es el radio.
Observemos que a ángulos centrales iguales corresponden cuerdas iguales.
Y a mayor arco corresponde mayor cuerda, siempre que esta no exceda de una semicircunferencia.
Ángulo
inscrito en una circunferencia
Llamaremos ángulo
inscrito en una circunferencia a aquel que tiene su vértice sobre la
circunferencia y sus lados son rectas secantes..
El ángulo BAC, inscrito en la circunferencia, mide la
mitad del arco que abarca
Vamos
a demostrarlo en tres fases:
- Dibuja
una circunferencia y un ángulo inscrito en ella, de tal forma
que uno de sus lados sea un diámetro. Prueba que el ángulo
mide la mitad del arco que abarca. Demostración
-
- Dibuja
una circunferencia y un ángulo inscrito en ella, de tal forma
que el centro este entre sus lados. Demostración
- El centro
esta fuera del ángulo. Demostración
Ejercicio
2.- Dada una circunferencia
O de radio R, se trazan dos cuerdas paralelas, cada una a distinto lado del
centro, tales que una de ellas es el lado del triángulo equilátero
inscrito y la otra el lado del cuadrado inscrito. Calcular el valor de estas
cuerdas y la medida de los cuatro arcos que determinan.
Ejercicio
3.- ¿Cuánto mide el ángulo BAC si BC es un diámetro
y A esta sobre la circunferencia?
Ejercicio
4.- Dos triángulos rectángulos tienen la misma hipotenusa
y la misma circunferencia circunscrita. Probar que el centro de esta circunferencia
es el punto medio de la hipotenusa compartida.
El lugar geométrico de los puntos P bajo los que se ve el segmento
AB, según un ángulo APB dado, se llama arco
capaz y está formado por dos arcos de circunferencia simétricos
respecto del segmento AB.
Es el lugar geométrico
de los puntos P bajo los que se ve el segmento AB, según un ángulo
APB dado y está formado por dos arcos de circunferencia simétricos
respecto del segmento AB.
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Creado con GeoGebra
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En cada semiplano
limitado por la recta AB, existe un arco capaz, los ángulos
de uno son inversamente iguales a los del otro arco.
Para obtener
el arco capaz de un ángulo a sobre
un segmento AB, sólo necesitamos obtener el centro O (O')
del arco, este estará en la mediatriz del segmento AB y por
otra parte el ángulo de vértice O y lados la mediatriz
y el segmento OA será el ángulo complementario de
a.
Repitiendo la construcción al otro lado del segmento AB obtenemos
el otro arco.
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Ángulo
semiinscrito
Es aquel ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia,
un lado tangente y el otro secante.
Su medida es la mitad del arco que abarca.
Se puede considerar
un caso límite del ángulo inscrito cuando uno de los lados tiene
los puntos de corte coincidentes con el vértice. También lo podemos
demostrar directamente:
Ángulo
exinscrito
Se le llama así al ángulo que tiene su vértice sobre la
circunferencia, un lado es secante y el otro exterior a la circunferencia.
Su medida es la semisuma de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo
y entre los lados del opuesto por el vértice.
Ángulo
interior
Es aquel que tiene el vértice en el interior de la circunferencia.
Su medida es igual a la semisuma de los arcos interceptados por él
por su opuesto por el vértice.
El ángulo
BAC es exterior al triángulo EAB, y por tanto mide igual que BEA+ABE
y BEA es un ángulo inscrito al igual que ABE.
Ángulo
exterior
Su vértice esta fuera de la circunferencia y sus lados son secantes.
Su medida es la semidiferencia entre las amplitudes de los arcos que abarca.
El ángulo beta =
EBF es exterior al triángulo ABF y EBF = BAF + AFB, de donde, BAF = EBF
- AFB, ambos ángulos inscritos.
Ángulos.
Medida de ángulo.Teorema
de Thales. Homotecia y semejanza.
Trigonometría.
Razones trigonométricas
de un ángulo agudo. Razones
trigonométricas de ángulos cualesquiera. Relación
fundamental. Secante,
cosecante y cotangente. Reducción
al primer cuadrante. Razones
trigonométricas de ángulos complementarios. Razones
trigonométricas de la suma o diferencia de dos dados. Razones
del ángulo doble y mitad. Funciones
circulares. Ecuaciones
trigonométricas. Resolución
de triángulos. Teorema
de Pitágoras. Teorema
de altura. Teorema del seno.
Teorema del coseno.
Coordenadas. Vectores.
Recta en el plano: generalidades.
Ecuaciones de la recta. Incidencia
y paralelismo. Distancia
punto recta.. Funciones:geenralidades.
Dominio.
Simetría y periodidcidad.
Crecimiento. Operaciones
con funciones. Función
polinómica. Funciones
a trozos. Funciones trascendentes.
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