En un problema de programación lineal tratamos de optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal, que depende de varias variables sometidas a ciertas restricciones también lineales. Inicialmente abordaremos problemas en los que intervienen solamente dos variables.

Para resolver este tipo de problemas es conveniente tener en cuenta los siguientes pasos:

1. Identificar las variables y analizar las restricciones a las que están sometidas y la función que tratamos de optimizar, que llamamos función objetivo. Una tabla puede ser un instrumento muy útil para organizar esta información.

2. Plantear el sistema de inecuaciones dado por las restricciones y escribir la expresión algebraica de la función objetivo.

3. Hallar el recinto solución o región factible, con sus vértices y, en general, representarlo gráficamente.

4. Obtener el óptimo de la función objetivo en la región factible, comparando los valores que toma dicha función en los vértices de la región factible.

Trata de seguir los pasos citados para resolver el siguiente problema:

Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable del tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 kg de titanio y 1 kg de alumnio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1 kg de aluminio. El beneficio que obtiene la empresa por cada 100 metros de cable de tipo A fabricados es igual a 1500 euros, y por cada 100 metros de cable de tipo B es igual a 1000 euros. Calcúlense los metros de cable de cada tipo que han de fabricarse para maximizar el beneficio y determínese dicho beneficio máximo.

(Prueba de acceso a la Universidad, Madrid, 2010)

Preguntas

1. Mueve el deslizador horizontal y analiza paso a paso el proceso seguido para obtener la solución del problema.

2. Sigue el mismo proceso, utilizando la aplicación siguiente, para resolver los problemas que se proponen a continuación. En cada uno de ellos:

   • Identifica las variables, las restricciones a las que están sometidas y la función objetivo. Una tabla puede ser un instrumento muy útil para organizar esta información.

   • Escribe y simplifica las inecuaciones y la función objetivo.

   • Sigue los pasos de la construcción anterior para introducir todos los datos.

   • Mueve el punto P que has creado en la región factible y busca el punto o puntos que optimizan la función objetivo.

   • Escribe la solución del problema.

Problemas

1. Un fabricante de plásticos pretende fabricar nuevos productos mezclando dos componentes químicos A y B. Cada litro de producto plástico 1 lleva 2/5 partes del compuesto A y 3/5 partes del compuesto B, mientras que el producto plástico 2 lleva una mitad del compuesto A y otra mitad del compuesto B. Se dispone de 100 litros del compuesto A y 120 litros del compuesto B. Sabemos que al menos necesitamos fabricar 50 litros del producto plástico 1 y que el beneficio obtenido por un litro del producto plástico 1 es de 10 euros, mientras que por un litro del producto plástico 2 el beneficio es de 12 euros.

   Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible y calcula el número de litros que se debe producir de cada producto plástico para conseguir el mayor beneficio posible. ¿Cuál es ese beneficio máximo?

   (Prueba de acceso a la Universidad, Castilla y León, 2009)

2. En una tienda naturista preparan dos tipos de paquetes de vinagre, A y B. Cada paquete del tipo A contiene 2 botellas de vinagre de vino y 4 botellas de vinagre de manzana, y cada paquete del tipo B contiene 3 botellas de vinagre de vino y 2 botellas de vinagre de manzana. Con cada paquete del tipo A obtienen un beneficio de 3 €, y con cada paquete del tipo B, uno de 2 €. Disponen de 800 botellas de vinagre de vino y de 1000 botellas de vinagre de manzana.

1. ¿Cuántos paquetes de cada tipo han de preparar para poder obtener un beneficio máximo?

2. ¿Cuál es ese beneficio máximo?

(Prueba de acceso a la Universidad, Islas Baleares, 2006)

3. En una factoría se desean producir al menos 4 unidades del producto B. Cada unidad de producto B ocupa un metro cúbico de espacio de almacenamiento, lo mismo que cada unidad de producto A. Tan solo disponen de un almacén con capacidad de 20 metros cúbicos. Juan se encarga de una fase de la producción y Pedro de otra fase de la producción. Cada unidad de A requiere 4 horas de trabajo de Juan y 2 horas de trabajo de Pedro. Cada unidad de B requiere 1 hora de trabajo de Juan y 3 horas de trabajo de Pedro. Juan debe trabajar al menos 32 horas y Pedro al menos 36 horas.

   Cada unidad de producto A produce un beneficio de 25 € y cada unidad de producto B produce un beneficio de 20 €. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula el número de unidades de producto A y de producto B que permiten obtener mayores beneficios, así como el beneficio máximo que se puede conseguir.

   (Prueba de acceso a la Universidad, Castilla y León, 2006)

4. Para cubrir un determinado trayecto una compañía aérea tiene dos aviones: A y B. Entre ambos deben hacer al menos 60 vuelos, pero no más de 200, y el avión A no puede sobrepasar los 120 vuelos, ni el B puede volar más veces que el A. Si, en cada vuelo, A consume 900 litros de combustible y B consume 700 litros, ¿cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo total de combustible sea mínimo.

(Prueba de acceso a la Universidad, País Vasco, 2006).

5. Una empresa de ocio y tiempo libre organiza cada verano dos tipos de actividades (de playa y de montaña). Por cada actividad de playa necesita un monitor y 3 acompañantes y por cada actividad de montaña necesita 2 monitores y 2 acompañantes. El beneficio obtenido por cada actividad de playa es de 800 euros y por cada actividad de montaña es de 900 euros. Si solo dispone de 50 monitores y 90 acompañantes y como máximo puede organizar 20 actividades de montaña, determinar, justificando la respuesta:

   1. El número de actividades de cada tipo que debe organizar dicha empresa con objeto de obtener unos beneficios máximos.

   2. El valor de dichos beneficios máximos.

   (Prueba de acceso a la Universidad, Extremadura, 2009)

6. Una refinería utiliza dos tipos de petróleo, A y B, que compra a un precio de 350 euros y 400 euros por tonelada, respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A que refina, obtiene 0,10 toneladas de gasolina y 0,35 toneladas de fuel-oil. Por cada tonelada de tipo B que refina, obtiene 0,05 toneladas de gasolina y 0,55 toneladas de fuel-oil. Para cubrir sus necesidades necesita obtener al menos 10 toneladas de gasolina y al menos 50 toneladas de fuel-oil. Por cuestiones de capacidad no puede comprar más de 100 toneladas de cada tipo de petróleo. ¿Cuántas toneladas de petróleo de cada tipo debe comprar a la refinería para cubrir sus necesidades a mínimo coste? Determinar dicho coste mínimo.

(Prueba de acceso a la Universidad, Madrid, 2009)