En un problema de programación lineal tratamos de optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal, que depende de varias variables sometidas a ciertas restricciones también lineales. Inicialmente abordaremos problemas en los que intervienen solamente dos variables.

Para resolver este tipo de problemas es conveniente tener en cuenta los siguientes pasos:

1. Identificar las variables y analizar las restricciones a las que están sometidas y la función que tratamos de optimizar, que llamamos función objetivo. Una tabla puede ser un instrumento muy útil para organizar esta información.

2. Plantear el sistema de inecuaciones dado por las restricciones y escribir la expresión algebraica de la función objetivo.

3. Hallar el recinto solución o región factible, con sus vértices y, en general, representarlo gráficamente.

4. Obtener el óptimo de la función objetivo en la región factible, comparando los valores que toma dicha función en los vértices de la región factible.

Trata de seguir los pasos citados para resolver el siguiente problema:

Una confitería realiza una oferta a sus clientes a través de dos tipos de lotes A y B. El lote A lleva 3 tabletas de turrón y 5 cajas de bombones. El lote B está compuesto por 5 tabletas de turrón y 3 cajas de bombones. Por cuestiones de estrategia comercial, el número de lotes B debe ser menor que el número de lotes del tipo A incrementado en 4. El número de tabletas de turrón disponibles en el almacén para esta oferta es de 52 y el de cajas de bombones, 60. La venta de un lote del tipo A reporta una ganancia de 6,5 euros, y uno del tipo B, 8,5 euros. Determina el número de lotes de cada tipo que debe vender para que la ganancia sea lo mayor posible. Calcula esa ganancia máxima.

(Prueba de acceso a la Universidad, Castilla La Mancha, 2009).

Preguntas

1. ¿Cuáles son las variables que intervienen? ¿Cuáles son las restricciones a las que están sometidas? ¿Cuál es la función objetivo? La siguiente tabla puede ayudarte a organizar la información: complétala con los datos que faltan. 

1. Escribe el sistema de inecuaciones correspondiente. Escribe también la expresión algebraica de la función objetivo.

2. Representa gráficamente, una a una y en los mismos ejes de coordenadas, las inecuaciones del sistema. Identifica la región factible.

3. Halla las coordenadas de los vértices de la región factible y calcula el valor de la función objetivo en cada uno de ellos. ¿Cuál es la solución del problema?

4. Vamos a utilizar ahora la aplicación para representar la región factible y hallar la solución del problema:

• Haz clic sobre la casilla A1 para representar gráficamente la región que corresponde a la  inecuación que expresa la restricción en la cantidad disponible de cobre.

• Haz clic sobre la casilla A2 para representar ahora la inecuación que expresa la restricción en la cantidad disponible de titanio.

• Haz clic sobre la casilla A3 para representar la inecuación que expresa la restricción en la cantidad disponible de aluminio.

• Haz clic sobre las casillas A4 y A5 para representar la condición de que las longitudes de cable de los tipos A y B deben ser positivas.

• Observa ahora la intersección de todas las regiones que has representado: esa será la región factible.

• A continuación haz clic en la casilla de la celda A15. Observa la recta que aparece. ¿Qué relación tiene con la función objetivo? ¿Qué significa el término independiente de la ecuación de la recta?

• Coloca el punto sobre los vértices de la región factible y observa el valor de la función objetivo en cada uno de ellos.

• ¿Cuál es la solución del problema? ¿Coincide con el que habías encontrado previamente?

5. Haz clic sobre el botón Reiniciar. Utiliza la siguiente aplicación para resolver los problemas que se proponen a continuación. Para ello:

   • Identifica las variables, las restricciones a las que están sometidas y la función objetivo. Una tabla puede ser un instrumento muy útil para organizar esta información.

   • Escribe y simplifica las inecuaciones y la función objetivo.

   • Escribe en la hoja de cálculo las inecuaciones. Utiliza una fila para cada inecuación. En cada fila, escribe en las celdas de las columnas B y C los coeficientes respectivos de las variables de las inecuaciones. A continuación, selecciona en la celda de la columna D el elemento de comparación que corresponda. Escribe ahora en la celda de la columna E el término independiente. Por último haz clic sobre la casilla de la celda de la columna A para representar gráficamente la región representada por la inecuación.

   • Utiliza la fila 15 de la hoja de cálculo para introducir la función objetivo. Escribe los coeficientes de las variables en las celdas B15 y C15, respectivamente y haz clic sobre la casilla de la celda A15 para representarla gráficamente.

   • Observa el recinto común a las regiones que has representado. Mueve la recta que corresponde a la función objetivo y sitúa el punto resaltado de la misma en los vértices de la región factible.

   • Compara los valores obtenidos y escribe la solución del problema.

Problemas

1. Una papelería quiere liquidar hasta 78 kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por 1 kg de papel reciclado y 3 kg de papel normal y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0.9 € y el de cada lote B es de 1 €. ¿Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos?

   (Prueba de acceso a la Universidad, Madrid, 2006)

2. Un frutero quiere liquidar 500 kg de naranjas, 400 kg de manzanas y 230 kg de peras. Para ello prepara dos bolsas de fruta de oferta: la bolsa A consta de 1 kg de naranjas y 2 kg de manzanas y la bolsa B consta de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de peras. Por cada bolsa del tipo A obtiene un beneficio de 2,5 euros, y 3 euros por cada bolsa del tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas, ¿cuántas bolsas de cada tipo debe preparar para maximizar las ganancias? ¿Cuál es el beneficio máximo?

   (Prueba de acceso a la Universidad, Comunidad Valenciana, 2009)

3. Una compañía química diseña dos posibles tipos de cámaras de reacción que incluirán en una planta para producir dos tipos de polímeros P₁ y P₂. Una planta debe tener una capacidad de producción de, por lo menos, 100 unidades de P₁ y, por lo menos, 420 unidades de P₂ cada día. Cada cámara de tipo A cuesta 600000 euros y es capaz de producir 10 unidades de P₁ y 20 unidades de P₂ por día. Debido al proceso de diseño, es necesario tener por lo menos 4 cámaras de cada tipo en una planta. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben incluirse para minimizar el gasto satisfaciendo el programa de producción requerido? Formula el sistema de inecuaciones asociado al problema. Representa la región factible y calcula sus vértices.

   (Prueba de acceso a la Universidad, Galicia, 2009)

4. Un librero compra libros de dos editoriales. La editorial A ofrece un paquete de 5 novelas de ciencia ficción y 5 históricas por 60 €, y la editorial B ofrece un paquete de 5 novelas de ciencia ficción y 10 históricas por 180 €. El librero quiere comprar un mínimo de 2500 novelas de ciencia ficción y un mínimo de 3500 novelas históricas. Además, por motivos personales, el librero ha prometido a la editorial B que al menos el 25% del número total de paquetes que comprará será de B.

   1. ¿Cuántos paquetes tiene que comprar el librero de cada editorial para minimizar el coste, satisfacer los mínimos y cumplir la promesa?

   2. ¿Cuánto le costarán en total las novelas?

   (Prueba de acceso a la Universidad, Islas Baleares, 2009)

5. Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 € y 65 € por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0.3 barriles de gasolina 95, 0.4 barriles de gasolina 98 y 0.2 barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0.1, 0.2 y 0.5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinería debe suministrar al menos 26300 barriles de gasolina 95, 40600 barriles de gasolina 98 y 29500 barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y calcula este.

(Prueba de acceso a la Universidad, Comunidad Valenciana, 2006)

6. Una fábrica de conservas recibe el encargo de preparar dos tipos de lotes de fruta en almíbar. Dispone para ello de 7500 botes de melocotón, 6000 botes de piña y 6000 botes de pera. Los lotes de tipo A están formados por 2 botes de melocotón, 2 botes de piña y 2 botes de pera y se venden a 20 €. Los de tipo B, están formados por 3 botes de melocotón, 2 botes de piña y 1 bote de pera y se venden a 25 €. Plantea y resuelve el problema de programación lineal que nos proporciona el número de lotes de cada tipo que debe producir la fábrica para que los ingresos sean máximos

   (Prueba de acceso a la Universidad, La Rioja, 2006)