3. Definición de Probabilidad. Propiedades.

3.1. Definición de Probabilidad.

• Definición de Probabilidad.

  Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.

  Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable.
  
  La frecuencia relativa del suceso A:
  

  
  Propiedades de la frecuencia relativa:
  
  
  1. 0f_r (A)1 cualquiera que sea el suceso A.
  2. f_r() = f_r(A) + f_r(B) si = Ø.
  3. f_r(E) = 1 f_r(Ø) = 0.
  
  

  Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.
  
  

• Definición axiomática.

  La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.
  
  

  Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de cada suceso es un número que verifica: Cualquiera que sea el suceso A, P(A) 0. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades. = Ø P() = P(A) + P(B). La probabilidad total es 1. P(E) = 1.

  
  
  

• Definición de Laplace.

  En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.
  
  

3.2. Propiedades.

1. P() = 1 - P( A )
   
   
2. P( Ø ) = 0
   
   
3. SiA B P( B ) = P( A ) + P( )
   
   
4. SiA B P( A ) P( B )
   
   
5. Si A₁ , A₂ , ... , A_k , son incompatibles dos a dos, entonces:
   P( A₁ A₂... A_k ) = P( A₁ ) + P( A₂ ) + ... + P( A_k )
   
   
6. P( ) = P( A ) + P( B ) - P( )
   
   

7. Si el espacio muestral E es finito y un sucesos es A={x₁ , x₂ , ... , x_K} , entonces:
   

   P( A ) = P( x₁ ) + P( x₂ ) + ... + P( x_K )